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格拉姆-施密特正交化

内积与正交化

日本学年参考：大学2年级

学习内容

学习从一组线性无关的向量出发，为其所张成的子空间逐步构建标准正交基的系统算法。该方法在矩阵QR分解以及正交函数系的生成中有着广泛的应用。学习本内容前，需要熟练掌握内积、正交投影以及基底的概念。

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要点

该公式用于根据已知向量 vk\boldsymbol{v}_k 构造新的正交（互相垂直）向量 uk\boldsymbol{u}_k。通过从 vk\boldsymbol{v}_k 中减去其在已求出的各正交向量 uj\boldsymbol{u}_j 方向上的投影分量来得出。

uk=vk−∑j=1k−1⟨vk,uj⟩∥uj∥2uj\boldsymbol{u}_k = \boldsymbol{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{u}_j \rangle}{\|\boldsymbol{u}_j\|^2} \boldsymbol{u}_j

该公式用于在保持方向不变的前提下，将正交向量 uk\boldsymbol{u}_k 的长度化为 1（即单位化）。通过将 uk\boldsymbol{u}_k 除以其自身的长度（范数 ∥uk∥\|\boldsymbol{u}_k\|），即可求得单位向量 ek\boldsymbol{e}_k。

ek=uk∥uk∥\boldsymbol{e}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|}

该公式用于计算向量 v\boldsymbol{v} 垂直投影在向量 u\boldsymbol{u} 方向上的正交投影向量。用两者的内积 ⟨v,u⟩\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle 除以 u\boldsymbol{u} 长度的平方 ∥u∥2\|\boldsymbol{u}\|^2，再乘以向量 u\boldsymbol{u} 进行计算。

proj⁡u(v)=⟨v,u⟩∥u∥2u\operatorname{proj}_{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{v}) = \frac{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle}{\|\boldsymbol{u}\|^2} \boldsymbol{u}

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