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グラム・シュミットの直交化

内積と直交化

学年の目安（日本）: 大学2年

学ぶこと

1次独立なベクトルの組から、それらが張る部分空間の正規直交基底を順次構成するアルゴリズムを学びます。QR分解や直交関数系の生成など多方面で活用されます。内積や正射影、基底の概念についての理解が必要です。

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要点

互いに直角に交わる（直交する）ベクトルの組を作るときに使う式です。元のベクトル vk\boldsymbol{v}_k から、すでに求めた各直交ベクトル uj\boldsymbol{u}_j の方向への成分（影のベクトル）をすべて引くことで、新しい直交ベクトル uk\boldsymbol{u}_k を求めます。

uk=vk−∑j=1k−1⟨vk,uj⟩∥uj∥2uj\boldsymbol{u}_k = \boldsymbol{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{u}_j \rangle}{\|\boldsymbol{u}_j\|^2} \boldsymbol{u}_j

直交するベクトルの向きを変えずに長さを 11 にそろえる（正規化する）ときに使う式です。直交ベクトル uk\boldsymbol{u}_k をその大きさ（ノルム ∥uk∥\|\boldsymbol{u}_k\|）で割ることで、長さが 11 の単位ベクトル ek\boldsymbol{e}_k を求めます。

ek=uk∥uk∥\boldsymbol{e}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|}

あるベクトル v\boldsymbol{v} を別のベクトル u\boldsymbol{u} の方向へ垂直に落とした影（正射影ベクトル）を求めるときに使う式です。内積 ⟨v,u⟩\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle を u\boldsymbol{u} の長さの 2 乗 ∥u∥2\|\boldsymbol{u}\|^2 で割り、ベクトル u\boldsymbol{u} に掛けて計算します。

proj⁡u(v)=⟨v,u⟩∥u∥2u\operatorname{proj}_{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{v}) = \frac{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle}{\|\boldsymbol{u}\|^2} \boldsymbol{u}

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