一元二次不等式

日本学年参考：数学I

学习内容

学习利用二次函数图像与x轴的交点位置关系来求解一元二次不等式。该方法在判断函数值的正负区间及确定变量取值范围时必不可少。在学习本项前，先复习因数分解的方法和二次函数图像的性质，能帮助你更深入地理解。

要点

该式用于求二次表达式小于 0 时的 $x$ 范围。因为开口向上的抛物线在两根之间位于 $x$ 轴下方，所以解是两根之间的开区间 $\alpha < x < \beta$ 。

(x - \alpha)(x - \beta) < 0 \iff \alpha < x < \beta \quad (\alpha < \beta)

该式用于求二次表达式大于 0 时的 $x$ 范围。因为开口向上的抛物线在两根外侧位于 $x$ 轴上方，所以解分为两端区间： $x < \alpha$ 与 $\beta < x$ 。

(x - \alpha)(x - \beta) > 0 \iff x < \alpha, \; \beta < x \quad (\alpha < \beta)

由于实数的平方始终大于或等于 0，因此小于或等于 0 的情况只有等于 0 的这一点，即唯一解 $x = \alpha$ 。

(x - \alpha)^2 \le 0 \iff x = \alpha

由于任何非零实数的平方都一定是正数，因此满足该不等式的解为除 $x = \alpha$ 以外的所有实数。

(x - \alpha)^2 > 0 \iff x \neq \alpha

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