二次不等式

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

二次関数のグラフとx軸との位置関係を利用して、二次不等式を解く方法を学びます。領域の判定や関数の値が正負となる条件を調べる際に活用します。事前に因数分解や二次関数のグラフの描き方を復習しておくと効果的です。

要点

二次式の値が負（0未満）となる $x$ の範囲を求める式です。放物線が $x$ 軸より下側にある区間に対応するため、解は2つの解の間である $\alpha < x < \beta$ となります。

(x - \alpha)(x - \beta) < 0 \iff \alpha < x < \beta \quad (\alpha < \beta)

二次式の値が正（0より大）となる $x$ の範囲を求める式です。放物線が $x$ 軸より上側にある区間に対応するため、解は2つの解の外側である $x < \alpha$ および $\beta < x$ となります。

(x - \alpha)(x - \beta) > 0 \iff x < \alpha, \; \beta < x \quad (\alpha < \beta)

実数の2乗は常に 0 以上となるため、0 以下を満たすのは等号が成り立つ $x = \alpha$ の1点のみとなります。

(x - \alpha)^2 \le 0 \iff x = \alpha

実数の2乗は 0 でない限り常に正となるため、不等式を満たす範囲は基準値 $x = \alpha$ を除くすべての実数となります。

(x - \alpha)^2 > 0 \iff x \neq \alpha

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