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含绝对值的式子

不等式

日本学年参考：数学I

学习内容

基于到原点距离的几何意义，学习通过分类讨论来求解含绝对值符号的方程与不等式。这常用于表示误差允许范围以及数轴上的距离区间。在学习前，熟练掌握一元一次方程、不等式以及数轴的性质将有助于顺利理解。

前往练习

要点

这是绝对值的定义式，表明了去掉绝对值符号的规则。若内层实数 aa 大于或等于 0 则保持为 aa；若为负数则取其相反数 −a-a。

∣a∣={a(a≥0)−a(a<0)|a| = \begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}

该式表示到原点的距离小于正数 cc 的 xx 取值范围。在数轴上对应于到原点距离在 cc 以内的开区间，即 −c<x<c-c < x < c。

∣x∣<c  ⟺  −c<x<c(c>0)|x| < c \iff -c < x < c \quad (c > 0)

该式表示到原点的距离大于正数 cc 的 xx 取值范围。在数轴上对应于超出距离 cc 的外侧两部分区间，即 x<−cx < -c 与 c<xc < x。

∣x∣>c  ⟺  x<−c,  c<x(c>0)|x| > c \iff x < -c, \; c < x \quad (c > 0)

该方程用于求到原点的距离等于 cc（c≥0c \ge 0）的实数 xx。它对应数轴上沿正负两个方向与原点距离为 cc 的点，解为 x=±cx = \pm c。

∣x∣=c  ⟺  x=±c(c≥0)|x| = c \iff x = \pm c \quad (c \ge 0)

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