恒等式

日本学年参考：数学II

学习内容

学习在两边均有定义的范围内对所有变量取值均成立的恒等式，以及求解未知待定系数的方法。它是进行部分分式分解与代数式变形的重要工具。在学习前，建议先理解方程与恒等式的区别，并熟练掌握多项式的展开与整理。

要点

该法则表明，如果对于任意 $x$ 都有 $ax + b = 0$ 恒成立，则未知系数 $a$ 和常数项 $b$ 都必须是 $0$ 。常用于在恒等式中确定未知系数。

ax + b = 0 \iff a = 0, \; b = 0

如果二次式 $ax^2 + bx + c = 0$ 对任意 $x$ 都恒成立，则各项系数 $a, b, c$ 都必须是 $0$ 。这是求解恒等式的基本法则。

ax^2 + bx + c = 0 \iff a = 0, \; b = 0, \; c = 0

当两个二次式对任意 $x$ 都恒等时，相同次数项的系数（ $a$ 与 $a'$ 、 $b$ 与 $b'$ 、 $c$ 与 $c'$ ）分别相等。常用于通过比较两端系数来求解未知数。

ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c' \iff a = a', \; b = b', \; c = c'

通过给 $x$ 代入具体数字求出系数后，必须代回原式进行检验，确认其对所有的数都恒成立。

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