二项式定理

日本学年参考：数学II

学习内容

学习展开二项式自然数次幂的二项式定理，以及利用组合数求解各项系数的方法。该定理常用于快速求得特定项的系数，也是研究二项分布的重要基础。在学习本内容前，建议先掌握代数式展开规则与组合数的计算方法。

要点

这是把 $(a + b)^n$ 一口气展开的二项式定理公式。展开后各项前面的系数，可以用组合数符号 ${}_n\mathrm{C}_r$ 来计算。

(a + b)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r} b^r

这是从展开式中单独找出某一项的通项公式。根据所需的次数选定 $r$ ，就能直接求出该项的系数。

T_{r+1} = {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r} b^r

这是在二项式定理中把 $a$ 换成 1、 $b$ 换成 $x$ 的特殊公式。因为 1 的任意次方都是 1，所以 $x^r$ 前面的系数就是组合数 ${}_n\mathrm{C}_r$ 本身。

(1 + x)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r x^r

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