恒等式

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

両辺が定義される範囲のすべての値で成り立つ恒等式の性質と、未知の係数を決定する手法を学びます。部分分数分解や式の変形の正当性を示す場面で基礎となります。事前に方程式と恒等式の意味の違いや、整式の展開と整理を理解しておくと円滑です。

要点

$x$ にどんな数を代入しても $ax + b = 0$ が成り立つ（恒等式である）とき、 $x$ の係数 $a$ と定数項 $b$ がともに $0$ だとわかります。未知の係数を決定するときに使います。

ax + b = 0 \iff a = 0, \; b = 0

$x$ にどんな数を代入しても二次式 $ax^2 + bx + c = 0$ が成り立つとき、すべての係数 $a, b, c$ が $0$ になります。恒等式を解く基本の決まりです。

ax^2 + bx + c = 0 \iff a = 0, \; b = 0, \; c = 0

2つの二次式がどんな $x$ についても等しくなるときは、同じ次数の係数どうし（ $a$ と $a'$ 、 $b$ と $b'$ 、 $c$ と $c'$ ）がそれぞれ等しくなります。両辺の係数を比較して文字の値を求めるときに使います。

ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c' \iff a = a', \; b = b', \; c = c'

$x$ に具体的な数を代入して文字の値を求めたあとは、他の数でも成り立つか、元の式に戻して必ず確かめます。

練習する問題セットを選んでください。