不等式的证明

日本学年参考：数学II

学习内容

本节学习利用作差法、配方法以及基本不等式（均值不等式）来证明不等式成立的常用技巧。这些方法在求解函数极值与推导数学定理时十分重要。学习前，建议先熟悉不等式的基本性质，并熟练运用因式分解与配方。

要点

任何实数 $a$ 平方后都必然大于或等于 $0$ 。这是不等式证明中的基础性质，仅当 $a = 0$ 时结果才恰好为 $0$ 。

a^2 \ge 0 \quad (a \in \mathbb{R})

对于正数 $a$ 和 $b$ ，相加除以 2 的算术平均数总是大于或等于开平方根的几何平均数 $\sqrt{ab}$ 。常用于在乘积固定时求解和的最小值。

\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad (a > 0, b > 0)

仅当两个数 $a$ 与 $b$ 完全相等时，算术平均数和几何平均数才会完全相等。常用于确定取得最大值或最小值的条件。

\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab} \iff a = b

这是对任意实数 $a, b, x, y$ 都成立的柯西-施瓦茨不等式。用于联系平方和与一次式的最值，两边相等的条件是 $ay = bx$ 。

(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2

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