换元与双二次式

日本学年参考：数学I

学习内容

学习通过将多项式中的相同部分设为新变量，或通过配方构造平方差来分解双二次式与高次式。这种换元思维能有效化繁为简。学习本内容前，熟练掌握基本乘法公式与二次式的因式分解，将有助于快速洞察式子的结构。

要点

当式中重复出现相同的复杂组合式时使用。将该公共部分替换为单个字母（如 $X$ ），可化简式子并套用基本公式。

用于因式分解只含有 $x^4$ 与 $x^2$ 等偶次幂的复二次式。通过换元设 $X = x^2$ ，即可转化为常规的二次三项式进行分解。

ax^4 + bx^2 + c = aX^2 + bX + c \quad (X = x^2)

用于无法通过简单换元因式分解的四次多项式。通过配方补项构造出平方差形式 $(x^2 + k)^2 - (mx)^2$ ，进而利用平方差公式完成分解。

x^4 + ax^2 + b = (x^2 + k)^2 - (mx)^2

将换元字母 $X$ 代回原式后的注意事项。需逐一检查各个括号内的多项式是否还能继续因式分解。

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