おきかえ・複二次式

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

式の共通部分を1つの文字におきかえたり、平方の差を作ったりして因数分解する解法を学びます。見かけが複雑な高次式を解きほぐす場面で重宝します。事前の知識として乗法公式と基本的な因数分解を使いこなせることが重要です。

要点

式の中に同じ共通の式が繰り返し現れるときに使います。その部分を $X$ などの1文字に置き換えることで、式を単純化して基本公式を適用しやすくなります。

$x^4$ や $x^2$ のように偶数乗の項のみで構成される複2次式を因数分解するときに使います。 $X = x^2$ と置き換えることで、通常の2次式として解くことができます。

ax^4 + bx^2 + c = aX^2 + bX + c \quad (X = x^2)

$X = x^2$ の単純な置き換えでは解けない複2次式で使います。項を補って平方完成を行い、 $(x^2 + k)^2 - (mx)^2$ という平方の差の形を作ることで因数分解を可能にします。

x^4 + ax^2 + b = (x^2 + k)^2 - (mx)^2

置き換えた文字 $X$ を元の式に戻した後の留意点です。得られた各括弧の中身が公式などを用いてさらに因数分解できないかを最後まで確認します。

練習する問題セットを選んでください。