特征向量

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习求解与特征值对应的特征向量，它是乘以矩阵后变为以该特征值为倍数的自身标量倍的非零向量。该概念在主成分分析和振动分析等领域具有极其广泛的应用。学习前需要掌握线性方程组的求解与特征值的计算方法。

要点

该式用于定义特征向量 $\boldsymbol{v}$ 与特征值 $\lambda$ 。矩阵 $A$ 乘以向量 $\boldsymbol{v}$ 后方向保持不变，仅缩放 $\lambda$ 倍；其中 $\boldsymbol{v}$ 是不为零的向量。

A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v} \quad (\boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0})

求出特征值 $\lambda$ 后，用此线性方程组来具体计算对应的特征向量 $\boldsymbol{v}$ 。其中 $I$ 是单位矩阵，需要寻找非零解 $\boldsymbol{v}$ 。

(A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}

该式定义了对应特征值 $\lambda$ 的特征子空间 $E_\lambda$ ，它汇集了该特征值的所有特征向量与零向量。 $\operatorname{Ker}$ 表示乘以 $(A - \lambda I)$ 后结果为零的向量集合。

E_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)

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