固有ベクトル

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

行列を掛けると対応する固有値を倍率とする自身のスカラー倍になる零でないベクトルである、固有ベクトルの求め方を学びます。主成分分析や振動解析など、多方面の応用で極めて重要です。連立一次方程式の解法や固有値の知識が必要です。

要点

行列 $A$ を掛けても向きが変わらず、長さだけが $\lambda$ 倍になるベクトル $\boldsymbol{v}$ （固有ベクトル）と、その倍率 $\lambda$ （固有値）を定義する式です。 $\boldsymbol{v}$ は大きさが 0 ではないベクトルです。

A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v} \quad (\boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0})

固有値 $\lambda$ が分かったあとに、対応する固有ベクトル $\boldsymbol{v}$ を具体的に求めるときに解く連立方程式です。 $I$ は単位行列で、0 以外の解 $\boldsymbol{v}$ を探します。

(A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}

ある固有値 $\lambda$ に対応するすべての固有ベクトルとゼロベクトルをまとめた空間（固有空間 $E_\lambda$ ）を表す式です。 $\operatorname{Ker}$ は $(A - \lambda I)$ を掛けるとゼロになるベクトルの集まりを意味します。

E_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)

練習する問題セットを選んでください。