二阶矩阵的特征值

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习通过求解特征多项式与特征方程来计算2阶方阵的特征值。特征值表示在线性变换下，非零向量映射为其自身标量倍数时的比例因子。学习本内容前，需要熟练掌握行列式计算以及一元二次方程的解法。

要点

这是用来求矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 的特征方程。通过让这个行列式等于 0，保证可以找到非零的特征向量。

\det(A - \lambda I) = 0

这是快速求解 $2 \times 2$ 矩阵特征值 $\lambda$ 的一元二次方程。代入主对角线元素之和 $\operatorname{tr}(A)$ 与行列式 $\det(A)$ 即可解出特征值。

\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0

这是用来检验求得的两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 是否正确的验算公式。两个特征值相加等于对角线之和 $\operatorname{tr}(A)$ ，相乘等于行列式 $\det(A)$ 。

\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}(A), \quad \lambda_1 \lambda_2 = \det(A)

请选择要练习的题组。