对角化

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习利用特征向量和可逆矩阵将方阵化为对角矩阵的方法。对角化在计算矩阵的高次幂以及求解微分方程组时非常有用。学习本内容前，需要牢固掌握特征值、特征向量以及逆矩阵的计算。

要点

该式用于将方阵 $A$ 变形为对角线上只排列特征值 $\lambda_1$ 到 $\lambda_n$ 的简便对角矩阵。矩阵 $P$ 是由特征向量排列组成的可逆方阵。

P^{-1} A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

用于快速计算矩阵 $A$ 的高次幂（ $A^k$ ）。对角矩阵 $D$ 的 $k$ 次幂非常容易求，只需把对角线上的各个数字分别求 $k$ 次方即可。

A^k = P D^k P^{-1}

该式展示了如何构造用于对角化的矩阵 $P$ 。将矩阵 $A$ 的特征向量 $\boldsymbol{v}_1$ 到 $\boldsymbol{v}_n$ 按照对角矩阵中特征值的顺序并排排成各列。

P = [\boldsymbol{v}_1 \ \dots \ \boldsymbol{v}_n]

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