2×2 の固有値

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

特性方程式を解いて2×2行列の固有値を求める手法を学びます。固有値は、線形変換において零でないベクトルが自身のスカラー倍に移るときの倍率を表します。行列式や2次方程式の解法についての理解が必要です。

要点

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ を求めるときに解く方程式（特性方程式）です。ゼロでない特別なベクトル（固有ベクトル）が存在するための条件を行列式が 0 になる式として表しています。

\det(A - \lambda I) = 0

$2 \times 2$ 行列の固有値 $\lambda$ を素早く求めるための2次方程式です。対角線の数の和 $\operatorname{tr}(A)$ と行列式 $\det(A)$ をあてはめて解くことで固有値が求まります。

\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0

求めた2つの固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ が正しいか確かめる式です。固有値の足し算は対角線の和 $\operatorname{tr}(A)$ に、掛け算は行列式 $\det(A)$ に必ず一致します。

\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}(A), \quad \lambda_1 \lambda_2 = \det(A)

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