导数与切线

日本学年参考：数学II

学习内容

本项学习导数作为曲线上某点切线斜率的几何意义，并掌握曲线切线方程的求解。该知识广泛用于函数的局部线性逼近以及研究曲线的局部走势。学习本项内容前，需要掌握多项式的导数计算与平面解析几何中的直线方程。

要点

这是定义在 $x = a$ 处瞬时变化率（导数 $f'(a)$ ）的公式。在几何上，它表示图象在点 $(a, f(a))$ 处切线的倾斜程度（斜率）。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

这是用来求曲线在点 $(a, f(a))$ 处的切线方程的公式。该直线的斜率由该点处的导数 $f'(a)$ 给出。

y - f(a) = f'(a)(x - a)

这是求在点 $(a, f(a))$ 处与切线垂直的直线（法线）方程的公式。利用两垂直直线斜率之积为 $-1$ 的性质，将法线的斜率设为 $-\frac{1}{f'(a)}$ 。

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) \quad (f'(a) \neq 0)

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