微分係数と接線

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

曲線上の点における微分係数が接線の傾きを表すことを学び、接線の方程式を求めます。グラフの局所的な挙動の把握や一次近似を行う場面で広く使われます。多項式の微分計算と直線の傾き・方程式の知識が必要です。

要点

地点 $x = a$ における瞬間の変化の割合（微分係数 $f'(a)$ ）を定義する式です。グラフ上の点 $(a, f(a))$ で引いた接線の傾きを表します。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

グラフ上の点 $(a, f(a))$ にぴったり触れる直線（接線）の方程式を求める公式です。接線の傾きとして微分係数 $f'(a)$ を使います。

y - f(a) = f'(a)(x - a)

点 $(a, f(a))$ で接線と直角に交わる直線（法線）の方程式を求める公式です。直角に交わる 2 直線の傾きの積が $-1$ になる性質から、傾きを $-\frac{1}{f'(a)}$ としています。

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) \quad (f'(a) \neq 0)

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