参数方程的导数

日本学年参考：数学III

学习内容

本项学习利用复合函数求导法则，计算由参数t表示的平面曲线导数dy/dx。该方法常用于求解摆线、椭圆等无法直接写成普通函数形式的曲线斜率及运动轨迹。学习本项前，需要掌握参数方程的概念与复合函数的求导技巧。

要点

当曲线坐标 $x$ 与 $y$ 都由参数 $t$ 表示时，用来计算切线斜率 $\frac{dy}{dx}$ 的公式。用 $y$ 对 $t$ 的导数 $\frac{dy}{dt}$ 除以 $x$ 对 $t$ 的导数 $\frac{dx}{dt}$ 即可。

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \left(\frac{dx}{dt} \neq 0\right)

这是求参数方程二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 的公式。将一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 对 $t$ 求导后，需要再次除以 $\frac{dx}{dt}$ 。

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

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