媒介変数表示の関数の微分

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

媒介変数tで表された曲線について、合成関数の微分を利用してdy/dxを計算します。サイクロイドや楕円など、通常の関数で表しにくい平面曲線の傾きや運動軌道の解析に使われます。合成関数の微分と媒介変数の知識が必要です。

要点

$x$ と $y$ が媒介変数 $t$ で表された曲線において、グラフの傾き $\frac{dy}{dx}$ を求める式です。 $y$ を $t$ で微分した $\frac{dy}{dt}$ を、 $x$ を $t$ で微分した $\frac{dx}{dt}$ で割り算して求めます。

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \left(\frac{dx}{dt} \neq 0\right)

媒介変数 $t$ で表された関数の第2次導関数（2回微分） $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める式です。1次導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $t$ で微分したものを、もう一度 $\frac{dx}{dt}$ で割って計算します。

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

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