复合函数、积与商的求导

日本学年参考：数学III

学习内容

本项学习利用乘积法则、商法则以及链式法则对复杂函数和复合函数进行求导。这些运算法则在处理物理规律以及经济敏感度分析等复杂模型时必不可少。学习本项内容前，需要牢固掌握多项式与基本初等函数的导数公式。

要点

这是对两个函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 相乘求导的乘积法则。分别对其中一个函数求导并与另一个未求导的原函数相乘，然后将两项相加。

\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

这是对分式函数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 求导的商法则。分母变为 $\{g(x)\}^2$ ，分子则按“分子导数乘分母”减去“分子乘分母导数”来计算。

\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

这是对复合函数 $f(g(x))$ 求导的链式法则。先对外层函数 $f$ 进行求导，再乘以内层表达式 $g(x)$ 的导数 $g'(x)$ 。

\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)

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