合成関数・積・商の微分

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

積の導関数、商の導関数、および合成関数の連鎖律を用いて複雑な関数を微分する手法を学びます。複数の要素が絡み合う物理法則や経済モデルの感応度分析で用いられます。多項式や基本関数の微分公式の習得が前提となります。

要点

2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ の掛け算を微分するときに使う積の微分公式です。「一方の微分×他方はそのまま」の組み合わせをそれぞれ作り、両者を足し合わせて計算します。

\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

分数の形をした関数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ を微分するときに使う商の微分公式です。分母は $\{g(x)\}^2$ と2乗し、分子は「分子の微分×分母」から「分子×分母の微分」を引き算します。

\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

関数の内側に別の関数が入っている合成関数 $f(g(x))$ を微分する公式（合成関数の微分・連鎖律）です。まず外側の関数 $f$ を微分し、そこに内側の式 $g(x)$ を微分した $g'(x)$ を掛け算します。

\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)

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