椭圆与双曲线

日本学年参考：数学C

学习内容

学习到两焦点距离之和为定值的椭圆，与距离之差的绝对值为定值的双曲线的方程，以及双曲线的渐近线。这些曲线广泛应用于天体轨道与无线电导航系统中。学习本内容前，熟练掌握圆的方程与轨迹概念将有助于深入理解。

要点

这是以原点为中心的横向椭圆标准方程。参数 $a$ 与 $b$ 分别表示长半轴和短半轴长，椭圆上任意点到两焦点的距离之和恒等于 $2a$ 。

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

这是以原点为中心、左右开口的双曲线标准方程。曲线上任意点到两个焦点的距离之差恒等于定值 $2a$ 。

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)

这是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 向远处延伸时无限趋近的两条直线（渐近线）的方程。在绘制双曲线图像时是重要的辅助参考线。

y = \pm \frac{b}{a}x

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