楕円と双曲線

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

2つの焦点からの距離の和が一定な楕円、差の絶対値が一定な双曲線の定義や方程式、双曲線の漸近線を学びます。惑星軌道や電波航法など天文学や工学で広く応用されます。事前に円の方程式や軌跡の考え方を復習しておくと円滑です。

要点

原点を中心とする横長の楕円の方程式です。 $a$ と $b$ はそれぞれ横方向と縦方向の半径を表し、楕円上のどの点からでも2つの焦点までの距離の和は常に $2a$ になります。

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

原点を中心とし、左右に開く双曲線の方程式です。双曲線上のどの点からでも、2つの焦点までの距離の差は常に一定値 $2a$ になります。

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ が原点から離れるにつれて限りなく近づいていく2本の直線（漸近線）の方程式です。双曲線の概形を描く際の重要な補助線になります。

y = \pm \frac{b}{a}x

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