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参数方程与极坐标

二次曲线

日本学年参考：数学C

学习内容

学习利用参数表示曲线以及利用距离和极角确定位置的极坐标系。这些表达方式在描述复杂的平面运动轨迹以及具有旋转对称性的物理系统中非常实用。在学习本内容前，熟练掌握三角函数与向量的基础知识将使理解更加顺畅。

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要点

这是将极坐标 (r,θ)(r, \theta)（极径 rr 与极角 heta heta）转换为平面直角坐标 (x,y)(x, y) 的公式。常用于在直角坐标系中分析圆周运动或具有旋转对称性的图形。

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

这是将平面直角坐标 (x,y)(x, y) 转换为极坐标 (r,θ)(r, \theta) 的公式。极径由 r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} 算出，极角 θ\theta 则需要根据点 (x,y)(x, y) 所在的象限来确定。

r2=x2+y2,tan⁡θ=yxr^2 = x^2 + y^2, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}

这是用单个参数 θ\theta 表示椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 上点 (x,y)(x, y) 的参数方程。常用于将两个变量转化为单变量 θ\theta 的三角函数，以便求最值。

x=acos⁡θ,y=bsin⁡θx = a\cos\theta, \quad y = b\sin\theta

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