抛物线

日本学年参考：数学C

学习内容

学习抛物线作为到焦点与准线距离相等的点轨迹的几何定义及其标准方程。抛物线广泛应用于卫星天线反射面设计及抛体运动轨迹分析等工程物理领域。在学习本内容前，理解二次函数图像与平面两点间距离公式将大有助益。

要点

这是以原点为顶点、左右开口的抛物线标准方程。常数 $p$ 决定了焦点 $(p, 0)$ 与准线 $x = -p$ 的位置，当 $p > 0$ 时开口向右，当 $p < 0$ 时开口向左。

y^2 = 4px \quad (p \neq 0)

这是以原点为顶点、上下开口的抛物线标准方程。常数 $p$ 决定了焦点 $(0, p)$ 与准线 $y = -p$ 的位置，当 $p > 0$ 时开口向上，当 $p < 0$ 时开口向下。

x^2 = 4py \quad (p \neq 0)

这是求抛物线 $y^2 = 4px$ 上一点 $(x_1, y_1)$ 处切线方程的公式。它是通过将原方程中的 $y^2$ 替换为 $y_1 y$ 、将 $2x$ 替换为 $x + x_1$ 得到的。

y_1 y = 2p(x + x_1)

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