一元二次方程的非实根

日本学年参考：数学II

学习内容

本节学习当判别式为负时，如何将求根公式推广到复数范围以求解二次方程的虚数解。这有助于深入理解所有代数方程在复数域内必有解的性质。学习前应掌握实数范围内的二次方程求根公式及复数的基本四则运算。

要点

这是表示负数平方根的基本规则。当 $a > 0$ 时，将根号内的负号提取到根号外，表示为虚数单位 $i$ 的形式 $\sqrt{a}\,i$ 。

\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i \quad (a > 0)

这是判断一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 是否具有虚数解的条件。当判别式 $D=b^2-4ac$ 为负数（ $D < 0$ ）时，方程在实数范围内无解，而是拥有一对互为共轭的虚数解。

D = b^2 - 4ac < 0

这是在判别式为负（ $b^2-4ac < 0$ ）时求解一元二次方程的求根公式。将根号内部变号为正数 $4ac-b^2$ ，并将虚数单位 $i$ 提至根号外表示。

x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a} \quad (b^2-4ac < 0)

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