二次方程式の虚数解

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

実数解をもたない二次方程式について、解の公式を複素数の範囲に拡張して虚数解を求める方法を学びます。すべての二次方程式が解をもつ代数学の基本理解に役立ちます。事前に実数における解の公式や複素数の基本計算の習得が必要です。

要点

負の数の平方根を表すときの基本規則です。 $a > 0$ のとき、根号の中のマイナス記号を外に出して虚数単位 $i$ を掛けた $\sqrt{a}\,i$ の形で表します。

\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i \quad (a > 0)

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数の範囲で解をもたず、虚数の解をもつかを判定する条件です。判別式 $D=b^2-4ac$ が負（ $D < 0$ ）のとき、解は虚数単位 $i$ を含む2つの異なる解（共役複素数）になります。

D = b^2 - 4ac < 0

判別式が負（ $b^2-4ac < 0$ ）のときに2次方程式の解を求める解の公式です。根号の中を正の値 $4ac-b^2$ に符号反転させ、虚数単位 $i$ を根号の外に出して表します。

x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a} \quad (b^2-4ac < 0)

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