复数运算

日本学年参考：数学II

学习内容

本节引入平方等于-1的虚数单位，学习复数的加减乘除运算法则。这些基础运算广泛应用于代数方程求解、物理及工程分析中。在开始学习前，需要具备实数的四则运算、整式展开以及分母有理化的相关基础。

要点

这是虚数单位 $i$ 的基本定义，其平方等于 $-1$ 。它是引入复数的基础规则，在计算中只要出现 $i^2$ ，就可以直接替换为 $-1$ 。

i^2 = -1

这是计算两个复数 $a+bi$ 与 $c+di$ 相乘的公式。像普通代数式一样展开后，将 $i^2$ 替换为 $-1$ ，即可整理为实部 $ac-bd$ 与虚部 $(ad+bc)i$ 。

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

这是计算复数除法的公式。通过在分子和分母上同时乘以共轭复数 $c-di$ ，将分母实数化以消除其中的虚数单位 $i$ 。

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} \quad (c^2+d^2 \neq 0)

这是表示复数 $z=a+bi$ 与其共轭复数 $\overline{z}=a-bi$ 相乘性质的公式。运算后虚数单位 $i$ 抵消，结果变为纯实数 $a^2+b^2$ （即模长的平方 $|z|^2$ ）。

z\overline{z} = a^2 + b^2 \quad (z = a+bi)

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