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复平面

复数

日本学年参考：数学C

学习内容

本节将复数表示为平面上的点或向量，学习极坐标形式以及利用棣莫弗定理处理乘法与旋转。该方法在几何旋转变换和代数方程的几何解释中十分有用。学习前需熟悉复数的四则运算和三角函数的基本概念。

前往练习

要点

这是用“与原点的距离”和“旋转角度”在复平面上表示复数的极坐标形式。其中 r=∣z∣r = |z| 表示模长（到原点的距离），θ\theta 表示辐角（与实轴正方向的夹角）。

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(r=∣z∣)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \quad (r = |z|)

这是用于计算复数 nn 次幂的棣莫弗定理。当模长为 1 的复数进行 nn 次方运算时，其辐角 θ\theta 会直接变为原来的 nn 倍，即 nθn\theta。

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

这是描述两个复数 z1z_1 与 z2z_2 相乘时几何特征的式子。相乘后所得复数的模长等于各自模长的乘积 ∣z1∣∣z2∣|z_1||z_2|，而辐角则等于各自辐角的和 arg⁡z1+arg⁡z2\arg z_1 + \arg z_2。

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2|z_1 z_2| = |z_1||z_2|, \quad \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2

请选择要练习的题组。