组合

日本学年参考：数学A

学习内容

学习在不考虑选取顺序的前提下求从若干元素中选出部分元素的方法总数的组合公式。该知识广泛应用于分组抽样、比赛对阵安排以及二项式定理展开中。在学习本内容前，熟练掌握排列的概念与阶乘的计算方法是顺利理解的基础。

要点

这是计算从 $n$ 个不同元素中不计顺序地选出 $r$ 个元素的组合数公式。当不需要考虑排列顺序、仅关注选出哪些元素时使用。

{}_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

这一定律表明，从 $n$ 个元素中选出 $r$ 个的方法数，与选出留下的 $n - r$ 个的方法数相同。例如 ${}_{10}\mathrm{C}_8 = {}_{10}\mathrm{C}_2$ ，可在 $r$ 较大时大幅简化计算。

{}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}

这个公式把从 $n$ 个元素中选 $r$ 个分成两类相加：包含某个特定元素，或不包含该元素。它是帕斯卡三角的生成原理，常用于组合性质的推导。

{}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r

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