組合せ

学年の目安（日本）: 数学A

学ぶこと

順序を区別せずにいくつかの要素を選ぶ選び方の総数を求める組合せの公式を学びます。グループ編成や対戦の組み合わせ、二項定理の係数計算などで広く利用されます。事前に順列の考え方や階乗を用いた計算を確実に理解しておくとスムーズに進められます。

要点

異なる $n$ 個のものから順序を気にせず $r$ 個を取り出す選び方（組合せ）の総数を計算する公式です。並べる順番は問わず、選ばれるグループの構成だけを数えたいときに使います。

{}_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

$n$ 個から $r$ 個を選ぶ選び方は、選ばない残りの $n - r$ 個を決める選び方と一致するという性質です。例えば ${}_{10}\mathrm{C}_8 = {}_{10}\mathrm{C}_2$ のように、 $r$ が大きいときの計算を簡単にするために使います。

{}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}

$n$ 個から $r$ 個を選ぶ組合せを、「特定の1個を含む場合」と「含まない場合」に分けて足し合わせる関係式です。パスカルの三角形の原理であり、組合せの性質を調べるときに使います。

{}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r

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