成分と大きさ

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

ベクトルを座標成分で数値的に表し、その大きさや和・差・実数倍を計算する手法を学びます。幾何的な向きと大きさを代数的に扱いやすくし、力や速度の合成に応用されます。ベクトルの基本的な定義と三平方の定理の知識が必要です。

要点

平面ベクトル $\vec{a}=(a_1, a_2)$ の大きさ（矢印の長さ）を計算する公式です。三平方の定理に基づき、 $x$ 成分 $a_1$ と $y$ 成分 $a_2$ をそれぞれ2乗して足し合わせ、平方根をとることで長さを求めます。

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

始点 $A(x_1, y_1)$ から終点 $B(x_2, y_2)$ へ向かうベクトル $\vec{AB}$ の成分を求める式です。終点 $B$ の座標から始点 $A$ の座標を各成分ごとに引き算して求めます。

\vec{AB} = (x_2 - x_1, \, y_2 - y_1)

成分表示された2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を加算するときの計算式です。 $x$ 成分同士（ $a_1$ と $b_1$ ）および $y$ 成分同士（ $a_2$ と $b_2$ ）をそれぞれ足し合わせることで合成ベクトルを求めます。

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2)

ベクトル $\vec{a}$ を実数 $k$ 倍（スカラー倍）するときの成分計算の公式です。ベクトルの向きや長さを変える操作にあたり、各成分 $a_1, a_2$ のそれぞれに実数 $k$ を掛け算します。

k\vec{a} = (ka_1, \, ka_2)

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