1次独立

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

複数のベクトルの組に対して、1次独立および1次従属の厳密な定義と行列を用いた判定法を学びます。空間の基底や次元を定めるための最も基本的で重要な概念です。ベクトルのスカラー倍や和、連立一次方程式の解法を理解していることが求められます。

要点

複数のベクトルが互いに「1次独立」であることの定義式です。ベクトル $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ を何倍かして足し合わせた結果がゼロベクトル $\boldsymbol{0}$ になるのが、すべての係数 $c_1, \dots, c_k$ が 0 の場合しかない状態を表します。

c_1 \boldsymbol{v}_1 + \dots + c_k \boldsymbol{v}_k = \boldsymbol{0} \implies c_1 = \dots = c_k = 0

$n$ 次元の空間にある $n$ 個のベクトルが1次独立かどうかを行列式で判定する式です。それらを並べて作った正方行列の行列式が 0 でなければ、余分な重なりがなく1次独立であると分かります。

\det([\boldsymbol{v}_1 \ \dots \ \boldsymbol{v}_n]) \neq 0

ベクトルの組が1次独立かどうかを行列の階数（ランク）で判定する式です。 $k$ 本のベクトルを並べて作った行列の階数が、ベクトルの本数 $k$ と一致するときに1次独立であると判定できます。

\operatorname{rank}([\boldsymbol{v}_1 \ \dots \ \boldsymbol{v}_k]) = k

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