階数

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

行列の独立な行ベクトルや列ベクトルの最大個数である階数を学びます。連立1次方程式の解の自由度や解の存在判定に広く用いられます。事前に基本変形や1次独立の知識があると役立ちます。

要点

行列 $A$ の階数（ランク）の意味を表す式です。行列による移動先の出力空間（像 $\operatorname{Im}(A)$ ）の広がりの次元を表し、互いに独立した列ベクトルの最大の本数と一致します。

\operatorname{rank}(A) = \dim(\operatorname{Im}(A))

行と列を入れ替えた転置行列 $A^T$ の階数が、元の行列 $A$ の階数と等しくなることを表す式です。どんな行列でも、互いに独立した「行の数」と「列の数」が必ず一致することを示しています。

\operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(A)

$m$ 行 $n$ 列の行列 $A$ の階数（ランク）の上限を表す式です。行列の階数が、行の数 $m$ と列の数 $n$ のうち小さいほうの数を超えることは決してありません。

\operatorname{rank}(A) \le \min(m, n)

2つの行列を掛け合わせた積 $AB$ の階数に関する性質です。行列を掛けても空間の次元が増えることはないため、 $AB$ の階数は元の行列 $A$ や $B$ の階数以下になります。

\operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))

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