三角関数のグラフ

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

正弦・余弦・正接関数のグラフの形状や周期、正弦・余弦の振幅や平行移動の扱い方を学びます。波動や交流信号などの周期的な現象を視覚的に捉えて解析する際に不可欠です。事前に弧度法と各角度での三角関数の値の対応を確認しておくと描きやすくなります。

要点

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値が、角 $\theta$ に $2\pi$ （ $360^\circ$ ）を加えるごとに元の値に戻ることを表す式です。グラフが周期 $2\pi$ で同じ波の形を繰り返す性質を示しています。

\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta, \quad \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta

$\tan\theta$ の値が、角 $\theta$ に $\pi$ （ $180^\circ$ ）を加えるごとに元の値に戻ることを表す式です。タンジェントのグラフは、周期 $\pi$ で同じ形を繰り返します。

\tan(\theta + \pi) = \tan\theta

角の符号を $-\theta$ にしたとき、 $\sin$ は値の符号が反転し、 $\cos$ は値が変わらないことを示しています。グラフが原点対称（ $\sin$ ）か、 $y$ 軸対称（ $\cos$ ）かを調べるときに使います。

\sin(-\theta) = -\sin\theta, \quad \cos(-\theta) = \cos\theta

正弦波の振幅（波の高さ）と周期（繰り返しの長さ）を読み取る関係式です。係数 $A$ は波の高さを $|A|$ 倍にし、 $\theta$ の係数 $B$ によってグラフが1周する周期 $T$ が決まります。

y = A\sin(B\theta) \implies T = \frac{2\pi}{|B|}

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