三角形の五心

学年の目安（日本）: 数学A

学ぶこと

三角形の5つの中心（外心・内心・重心・垂心・傍心）の定義とそれぞれの性質を学びます。二等分線や垂線、線分の比に関する基礎知識を前提として理解を深めます。幾何学の美しい対称性の探究や高度な図形問題の解決に活用されます。

要点

三角形の重心 $G$ の位置を表す式です。重心 $G$ は、頂点 $A$ から向かい合う辺の中点 $M$ へ引いた中線を $2:1$ の比率に内分します。

AG : GM = 2 : 1

辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、線分の長さを計算する式（中線定理）です。2辺 $AB, AC$ の2乗の和と、中線 $AM$ および半辺 $BM$ の2乗の和との関係を表します。

AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)

角 $A$ の二等分線と対辺 $BC$ が交わる点 $D$ についての定理です。分割された底辺の比 $BD:DC$ は、隣り合う2辺の長さの比 $AB:AC$ と一致します。

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

三角形の外心と内心の幾何学的特徴です。外心は外接円の中心であり3つの頂点までの距離が等しく、内心は内接円の中心であり3つの辺までの垂直距離が等しくなります。

練習する問題セットを選んでください。