根号を簡単にする

学年の目安（日本）: 中3

学ぶこと

根号の中にある2乗の因数を外に出し、根号内を最も簡単な形に変形する技法を学びます。平方根の四則演算や方程式の解を簡潔に表現する際に必須です。事前に素因数分解のやり方と平方根の基本概念を理解しておくと安心です。

要点

根号の中の数をできるだけ小さな整数に簡約するときに使います。根号の中に平方の因数 $a^2$ があれば、 $a$ として根号の外にくくり出すことができます。

\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \quad (a > 0, \; b > 0)

根号内の分母に平方数 $b^2$ があるときに使います。分母の $b^2$ を開方して $b$ として根号の外に出し、根号を分子のみに残した形に整理できます。

\sqrt{\frac{a}{b^2}} = \frac{\sqrt{a}}{b} \quad (a > 0, \; b > 0)

数や式の2乗に対する平方根を計算するときに使います。正の平方根の値は常に $0$ 以上となるため、元の数 $a$ が負である場合は絶対値 $|a|$ となり符号が反転します。

\sqrt{a^2} = |a|

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