有理数と無理数

学年の目安（日本）: 中3

学ぶこと

整数の比（分母は0以外）で表せる有理数と、そうでない無理数の違いを理解し、実数を分類する方法を学びます。数の体系を整理し、平方根の性質を厳密に捉える際に役立ちます。事前に分数や小数の意味を復習しておくと円滑です。

要点

有理数の定義を表す式です。分母が 0 でない整数の分数 $\frac{a}{b}$ （ $a, b$ は整数）の形で表すことができる数を有理数と呼びます。

\frac{a}{b} \quad (a, b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0)

$0.333\dots$ のように1桁の数字 $a$ が繰り返される循環小数を分数に変換するときに使います。分母を 9 とする分数 $\frac{a}{9}$ で表せるため、循環小数も有理数に含まれます。

0.\dot{a} = \frac{a}{9}

$0.1212\dots$ のように2桁の数字 $a, b$ が繰り返される循環小数を分数に変換するときに使います。繰り返す2桁の数 $10a + b$ を分子、99 を分母とすることで分数として表せます。

0.\dot{a}\dot{b} = \frac{10a + b}{99}

循環しない無限小数（ $\sqrt{2}$ や円周率 $\pi$ など）は、整数の分数として表すことができません。このような数を「無理数」と呼びます。

練習する問題セットを選んでください。