分母の有理化

学年の目安（日本）: 中3

学ぶこと

分母に含まれる根号を取り除き、式を簡潔な形に整理する方法を学びます。式の値の計算や大小比較をしやすくするために用いられます。事前に平方根の性質や式の展開を理解しておくと円滑に進められます。

要点

分母にあるルート（平方根）をなくして計算しやすくするときに使います。分母と分子の両方に同じ $\sqrt{a}$ を掛けることで、分母をルートのない数 $a$ に変形できます。

\frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}

分母が2つのルートの足し算になっているときに使います。分母と分子の両方に符号を変えた $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ を掛けることで、公式を利用して分母のルートをなくせます。

\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}

分母が普通の数 $a$ とルート $\sqrt{b}$ の足し算になっているときに使います。分母と分子の両方に符号を変えた $(a - \sqrt{b})$ を掛けると、分母が $a^2 - b$ になりルートをなくせます。

\frac{c}{a + \sqrt{b}} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}

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