数学的帰納法

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

自然数に関する命題を証明するための強力な論法である数学的帰納法の仕組みを学びます。数列の公式の証明や整数に関する性質の検証など幅広い分野で用いられます。基本的な論理の進め方や文字式の変形に慣れていると理解が深まります。

要点

すべての自然数で命題が成り立つことを示すため、まず「 $n = 1$ で成り立つこと」を確かめ、次に「 $n = k$ で成り立つと仮定すれば $n = k + 1$ でも成り立つこと」を証明します。

最初の $n = 1$ で成り立ち、次へと正しさがドミノ倒しのように伝わることで、すべての自然数 $n$ で命題 $P(n)$ が正しいと証明できる原理を表しています。

[P(1) \land \forall k (P(k) \implies P(k+1))] \implies \forall n P(n)

$n = k + 1$ での成立を示すときは、式の一部に「 $n = k$ で成り立つと仮定した式」を当てはめられるように式を変形するのが解法の鍵になります。

練習する問題セットを選んでください。