変数分離形

学年の目安（日本）: 大学2年

学ぶこと

各変数を両辺に分離して両辺を積分する、変数分離形微分方程式の解法を学びます。物体の冷却や人口の増減といった自然現象のモデル化で頻出します。学習には不定積分の基本計算と微分の知識を前提とします。

要点

導関数 $dy/dx$ が「 $x$ だけの式 $f(x)$ 」と「 $y$ だけの式 $g(y)$ 」の積に分解できる「変数分離形」の微分方程式です。もっとも基本的な微分方程式の形のひとつです。

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

変数分離形の微分方程式を解くための式です。左辺に $y$ の項、右辺に $x$ の項をまとめて両辺を積分することで一般解を求めます（ $C$ は積分定数です）。

\int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx + C

両辺を $g(y)$ で割る前に、 $g(y_0) = 0$ を満たす定数 $y_0$ が解（特異解など）になっていないかを確認する決まりです。0 で割ることはできないため、別の解として拾い上げる必要があります。

g(y_0) = 0 \implies y = y_0

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