極座標変換

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

直交座標での重積分を極座標に変換し、ヤコビアンを用いて計算する方法を学びます。円や扇形など対称性をもつ領域の積分を効率的に解く際に役立ちます。学習には直交座標での重積分と三角関数の知識が必要です。

要点

直交座標 $(x, y)$ を、原点からの距離 $r$ と $x$ 軸からの回転角 $\theta$ を使った極座標に変換する式です。円や扇形など、回転対称な図形を扱う積分計算を簡単にするために使います。

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

極座標で重積分を計算するとき、微小な面積要素 $dxdy$ を極座標の微小面積 $r\,dr\,d\theta$ に置き換える式です。半径 $r$ が掛け算される点（ヤコビアン）を忘れないことが大切です。

dxdy = r\,dr\,d\theta

円やリング状の領域 $D$ で重積分を計算する際の極座標変換の公式です。 $x$ と $y$ を $r\cos\theta$ と $r\sin\theta$ に置き換え、微小面積に $r$ を掛けて積分します。

\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

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