偏微分

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

2変数以上の関数において、他の変数を定数とみなして特定の変数について微分する偏微分の計算手法を学びます。多変数の最適化問題や物理学の場の方程式を解析する場面で広く応用されます。1変数関数の微分公式を習得していることが前提となります。

要点

2変数関数 $f(x, y)$ において、 $y$ を一定の定数として固定し、 $x$ だけを変化させたときの瞬間の変化率（偏微分）を求める定義式です。

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}

関数を $x$ と $y$ で1回ずつ偏微分するとき、どちらの文字から先に微分しても結果が等しくなるという決まり（シュワルツの定理）です。2階の偏導関数が滑らか（連続）なときに成り立ちます。

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

2つの変数 $x$ と $y$ がともに時間 $t$ に合わせて変化するとき、 $z = f(x, y)$ の時間に対する変化率を求める合成関数の微分法則（連鎖律）です。 $x$ 経由の変化と $y$ 経由の変化を足し合わせて求めます。

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}

練習する問題セットを選んでください。