逆行列

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

かけると単位行列になる逆行列の定義と、行列式を用いた存在判定や計算公式を学びます。未知の行列を含む方程式を解く際や、線形写像の逆変換を求める場面で多用されます。単位行列の役割や行列の積、行列式の計算知識をあらかじめ確認しておきましょう。

要点

行列 $A$ に対する逆行列 $A^{-1}$ の意味を表す定義式です。普通の数における逆数（掛けると 1 になる数）と同じ役割を持ち、左右どちらから掛けても単位行列 $I$ （何もしない基準の行列）になります。

AA^{-1} = A^{-1}A = I

$2 \times 2$ 行列の逆行列 $A^{-1}$ を具体的に計算する公式です。対角線上にある $a$ と $d$ を入れ替え、 $b$ と $c$ の符号をマイナスに変えてから、全体を行列式 $ad - bc$ で割ります。

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \quad (ad-bc \neq 0)

2つの行列を掛け合わせた積 $AB$ の逆行列を求める式です。それぞれの逆行列 $A^{-1}$ と $B^{-1}$ を掛ければ求まりますが、左右の順序が入れ替わって $B^{-1}$ が先になる決まりがあります。

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

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