不定積分

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

導関数から元の関数を復元する微分の逆演算として、積分定数を含む不定積分を求めます。変化率から全体の推移を推計したり、定積分を計算したりする基盤となる技法です。多項式の微分法と積分の記号の意味の理解が必要です。

要点

べき関数 $x^n$ （ただし $n \neq -1$ ）を不定積分するときの基本公式です。右上の指数 $n$ に 1 を足した $n+1$ で割り、定数 $C$ （積分定数）を最後に添えます。

\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad (n \neq -1)

不定積分した式を再び $x$ で微分すると、もとの関数 $f(x)$ に戻ることを表す式です。微分と積分が互いに逆の計算であることを示しています。

\frac{d}{dx} \int f(x) \, dx = f(x)

足し算の式を積分するときは、 $f(x)$ と $g(x)$ をそれぞれ別々に積分して足し合わせてよいことを表す性質です。項ごとに分けて簡単に計算できるようになります。

\int \{f(x) + g(x)\} \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

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