体積と曲線の長さ

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

定積分を活用して、断面積からの立体の体積や回転体の体積、曲線の長さを求める方法を学びます。幾何学的な図形の計量や物理の解析などで幅広く応用されます。定積分の基礎的な計算や関数の微分の理解が必要です。

要点

立体の体積 $V$ を求める基本の公式です。 $x$ 軸に垂直な平面で立体を切ったときの断面積を $S(x)$ とし、これを $x=a$ から $x=b$ まで積み重ねるように積分します。

V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で挟まれた部分を、 $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める式です。切り口は半径が $|f(x)|$ の円（面積 $\pi \{f(x)\}^2$ ）になるため、これを $x=a$ から $x=b$ まで積分します。

V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 \, dx

平面上の曲線 $y=f(x)$ について、 $x=a$ から $x=b$ までの曲線の長さ $L$ を求める式です。微小な直角三角形の斜辺を三平方の定理で足し合わせる考え方に基づいており、 $f'(x)$ は曲線の接線の傾き（導関数）を表します。

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} \, dx

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