推定

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

標本統計量と正規分布の性質を利用し、母平均や母比率を指定した信頼度に基づく区間で推定する手法を学びます。世論調査の支持率推定や製品の品質検査などで不可欠な手法です。正規分布の知識や標本平均の性質を理解しておくと円滑に進みます。

要点

標本から求めた平均値（標本平均 $\bar{X}$ ）のばらつき度合いを表す式です。母集団の分散 $\sigma^2$ をサンプルサイズ $n$ で割るため、サンプル数が多いほど平均値のブレは小さくなります。

V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

標本データから母集団の真の平均値 $m$ が入っている範囲を 95% の信頼度で推定する式です（95% 信頼区間）。標本平均 $\bar{X}$ を中心に、サンプルサイズ $n$ と母標準偏差 $\sigma$ から区間の幅を算出します。

\bar{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

アンケートなどの標本比率から、全体の真の割合 $p$ が入っている範囲を 95% の信頼度で推定する式です。標本比率 $R$ と調査人数 $n$ を用いて、真の比率 $p$ が収まる信頼区間の幅を計算します。

R - 1.96 \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}} \le p \le R + 1.96 \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}

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