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絶対値を含む式

不等式

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

原点からの距離という意味を踏まえ、場合分けを行って絶対値を含む方程式や不等式を解く方法を学びます。誤差の範囲や数直線上の距離を扱う場面で活用されます。事前に一次方程式・不等式や数直線の扱いに習熟しておくと円滑です。

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要点

絶対値の定義を表す式です。中身の実数 aa が 0 以上であればそのまま aa とし、負の数であれば符号を反転させた −a-a として絶対値記号を外します。

∣a∣={a(a≥0)−a(a<0)|a| = \begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}

原点からの距離が正の定数 cc 未満である xx の範囲を表す式です。数直線上で原点から距離 cc 以内にある区間、すなわち −c<x<c-c < x < c が解となります。

∣x∣<c  ⟺  −c<x<c(c>0)|x| < c \iff -c < x < c \quad (c > 0)

原点からの距離が正の定数 cc より大きい xx の範囲を表す式です。数直線上で原点から距離 cc を超える両外側の領域、すなわち x<−cx < -c および c<xc < x が解となります。

∣x∣>c  ⟺  x<−c,  c<x(c>0)|x| > c \iff x < -c, \; c < x \quad (c > 0)

原点からの距離が cc（c≥0c \ge 0）に等しい実数 xx を求める方程式です。数直線上で原点から距離 cc だけ離れた点に対応し、解は x=cx = c と x=−cx = -c の2つになります。

∣x∣=c  ⟺  x=±c(c≥0)|x| = c \iff x = \pm c \quad (c \ge 0)

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