不等式の証明

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

差をとる方法や平方の性質、相加・相乗平均の関係を用いて不等式を証明する手法を学びます。関数の最大・最小の評価や数学的な定理の基礎づけで活用されます。事前に不等式の基本性質や因数分解・平方完成の技術を身につけておくと効果的です。

要点

どんな実数 $a$ も、2乗すると必ず $0$ 以上になるという基本の性質です。不等式の証明で広く使われ、ちょうど $0$ になるのは $a = 0$ のときだけです。

a^2 \ge 0 \quad (a \in \mathbb{R})

正の数 $a, b$ について、足して2で割った相加平均は、掛けてルートをとった相乗平均以上になるという関係です。積が一定のときの和の最小値などを求めるときに使います。

\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad (a > 0, b > 0)

相加平均と相乗平均がぴったり等しくなるのは、2つの数 $a$ と $b$ が同じ値のときだけです。最大値や最小値をとる条件を調べるときに使います。

\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab} \iff a = b

実数 $a, b, x, y$ についていつでも成り立つコーシー・シュワルツの不等式です。2乗の和と1次式の関係を調べるときに使い、両辺が等しくなるのは $ay = bx$ のときです。

(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2

練習する問題セットを選んでください。